学科跨越式发展期（2003年—2022年）

（第三部分）

（3）科学研究

本学科主要研究方向为偏微分方程、非线性泛函分析、代数及其应用、动力系统、交叉科学与应用，现已形成鲜明的优势特色：

一是有结构合理的高层次研究团队。学科以中青年教师为核心，教师年龄、学缘结构和学科方向合理。有教育部创新团队1个，国家级和省级教学团队各1个，有国务院学位委员会学科评议组前任成员、国家“百千万人才工程”首批第一二层次入选者、长江学者、国家杰青、国家优青（含海外项目）、省高端人才计划入选者、教育部新世纪人才入选者等学科带头人30余人。

二是学科成果显著，具有广泛国际学术影响力。近五年来，学科教师在Comm. Pure Appl. Math.、Adv. Math.等国际顶尖数学期刊上发表论文600余篇，出版专著、教材近10部；承担国家杰青、国家优青（含海外项目）、教育部创新研究团队（滚动）支持项目等一批科研项目；获教育部自然科学奖、省级自然科学奖一等奖等多项。学科广泛开展国际学术交流，如与巴黎十三大、莫斯科国立师范大学等高校签订联合培养协议，邀请美国数学会会士、国际数学家大会45分钟报告人A.Soffer，澳大利亚科学院院士汪徐家等海外专家来校开展合作研究，举办有影响的国际学术会议等。

各研究方向的情况简介如下：

研究方向一 偏微分方程理论及应用

主要成员：严树森(带头人)、邓引斌、钟晓、刘双乾、严国政、郑高峰、阮立志、段然、訾瑞昭、唐岚、邓勤涛、帅伟等。

研究成果：

建立了Chern-Simons方程波峰解与Kirchhoff-Routh型函数的临界点之间的重要联系，给出了非退化临界点是Chern-Simons方程波峰解的爆破点的充分必要条件。证明了临界Besov空间中截断Boltzmann方程整体强解的存在性，得到了低正则函数空间中非截断Boltzmann方程整体温和解的适定性。

五篇代表性论文：

[1]邓引斌, C.-S. Lin,严树森, On the prescribed scalar curvature problem in RN: local uniqueness and Periodicity, J. Math. Pures Appl. 104 (6) (2015), 1013--1044.

[2]C.-S.Lin,严树森,On the mean field type bubbling solutions forChern-Simons-Higgs equation, Adv. Math. 338(2018),1141--1188.

[3]X.Wang,吴雅婷,Anew proof for the regularity of Monge-Ampère type equations,J.Differential Geom.116(2020),no. 3,543--553.

[4]W. F.Qiu,唐岚,A note on the Monge-Ampère type equations with general source terms, Math.Comp.89(2020), no. 326,2675--2706.

[5] R.J.Duan,刘双乾,S.Sakamoto,R.M.Strain,Global mild solutions of the Landau and noncutoff Boltzmann equations, Comm. Pure Appl. Math. 74(2021),no.5,932--1020.

研究方向二 非线性泛函分析及其应用

主要成员：彭双阶(带头人)、李工宝、A.Soffer、郭玉劲、尧小华、刘磊、罗鹏、王春花、邓清泉、程亮、王华等。

研究成果：

提出了基于局部波霍扎耶夫恒等式的爆破方法，为证明泛函临界点的存在性、唯一性、非退化性等性质建立了统一的理论并提供了新方法；发展了质量临界约束变分理论，并由此证明了BEC基态解的相位分离性与半平凡性，得到了薛定谔方程窄孤立子解的渐进行为，部分解决了佩雷尔曼提出的著名猜想，拓展了菲尔兹奖获得者Lions的质量约束变分理论体系。

五篇代表性论文:

[1] J. Bourgain,P.Shao,C.D.Sogge,尧小华,On L^p-resolvent estimates and the density of eigenvalues for compact Riemannian manifolds,Comm. Math.Phys.333(2015),1483--1527.

[2] Y.X.Gu,彭双阶,严树森,Local uniqueness and periodicity induced by concentration,Proc.Lond.Math. Soc.114(2017),no.6,1005--1043.

[3]郭玉劲,Y.Luo,W.Yang,The nonexistence of vortices for rotating Bosc-Einstein condensates with attractive interactions,Arch. Rational Mech.Anal. 238 (2020), no. 3, 1231--1281.

[4]程亮,A.Zhu,On thek-solutions of the Ricci flow on noncompact 3-manifolds,Adv. Math.371(2020),107247-9.

[5] M.Beccanu,邓清泉,A. Soffer,Y. F. Wu,Large global solutions for nonlinear Schrödinger equationsI, mass-subcritical cases,Adv. Math. 391(2021),107973-45.

研究方向三 代数及应用

主要成员：周远扬(带头人)、刘宏伟、胡智全、李书超、张健、罗金权、Meng Fai Lim、陈刚、常浩、郭红艳、胡小兰、赵全庭等。

研究成果:

得到了块的源代数与其惯性了群的Brauer对应块的源代数同构的一个刻画，给出了Alperin权猜想在此类块上的一个结构化解释。简化了幂零块扩张结构定理的证明，并以此研究了幂零块扩张情形下的Glauberman对应，证明了在此情形下块与其Glauberman对应块之间存在分次的basic Morita等价。给出了惯性块的p’-扩张的代数结构，证明了块形式的Alperin权猜想对亏群交换的2-块成立。

五篇代表性论文：

[1]K.Zhang,周远扬,The inductive blockwise Alperin weight conditionforcertain 2-blocks withAbelian defectgroups,J.Algebra579(2021),174--194.

[2]S.Rao, X.Y.Wan,赵全庭,On local stabilities of p-Kähle structures,Compos.Math.155(2019),no. 3,455--483.

[3]W.Kuo,Y.Liu,赵小妹,The asymptotic estimates and Hasse principle formulti-dimensional Waring's problem,Adv.Math. 353(2019),1--66.

[4]L.Puig,周远扬,Glauberman correspondents and extensions of nilpotent block algebras,J.Lond.Math.Soc.85(2012),809--837.

[5]L.Puig,周远扬,On blocks with trivial source simple modules,Adv.Math.226(2011),3088--3104.

研究方向四 动力系统

主要成员：何兴纲(带头人)、范爱华、阮士贵、饶辉、侯宣继、黄继才、付小叶、凡石磊、安丽想等。

研究成果：

解决了素数进域上的Fuglede谱集猜想；在自相似Fuglede谱集猜想(Laba-Wang猜想)的研究中，发展了自相似Fuglede问题的结构性方法；在Fuglede问题与小波分析、分形几何相结合的研究中，建立了正交小波基、自仿tile与分形几何中自仿测度之间的联系。

五篇代表性论文

[1]侯宣继,J.G.You,Almost reducibilityand non-perturbative reducibilityof quasi-periodic linear systems,Invent. Math.190(2012),209--260.

[2]付小叶,J.P.Gabardo,Self-affine scaling sets in R²,Mem. Amer.Math. Soc.233 (2015),no.1097.

[3]安丽想,何兴纲,K.S.Lau,Spectralityofa class ofinfinite convolutions,Adv.Math. 283(2015),362--376.

[4]Y.S.Fu,何兴纲, Z.X.Wen,Spectra of Bernoulli convolutions and random convolutions,J.Math.Pures Appl.116(2018),105--131.

[5]范爱华,凡石磊,L.M. Liao,R.X.Shi,Fuglede's conjecture holds in Q^p,Math. Ann. 375(2019),315--341.

研究方向五 交叉科学与应用

主要成员：晏挺(带头人)、张晓飞、左国新、李波、阴小波、胡建伟、王燕、赵越、张雄军、陈德汗、曲连强、李乐等。

研究成果：

围绕指数图模型问题，建立了指数加权图模型中的极大似然估计量的渐近理论，证明了Beta网络模型中极大似然估计量的中心极限定理；针对随机块模型类个数的估计问题，提出了具有接近线性条件的拟合优度检验统计量，得到了该统计量的渐近功效函数。研究了非线性逆向麦克斯韦方程的电磁场重构问题，首次利用变分源条件得到了相关反问题的收敛性；提出了面向多平台组学数据的差异网络分析方法，为识别与肿瘤发生发展相关的网络标志物提供了数学方法与应用工具。

五篇代表性论文

[1]晏挺,C.Leng, J.Zhu,Asymptotics in directed exponential random graph models withan increasing bi-degree sequence,Annals ofStatistics44(1)(2016),31--57.

[2]胡建伟,H.Qin,晏挺,Y.Zhao,Corrected Bayesian information criterion for stochastic block models, J. ofAmer.Statist.Association 115(532)(2020),1771--1783.

[3]张晓飞,L.Yang,S.Yane,X.Hu,H.Yan,DifNetFDR:differential network analysis with false discoveryrate control,Bioinformatics 35(2019),3184--3186.

[4]Y.Y.Cai,王燕,Uniformly accurate nested Picard iterative integrators for the Diracequation in the nonrelativestic limit regime,SIAMJ.Numerical Analysis57(2019),1602--1624.

[5]张雄军,M.K.Ng,A corrected tensor nuclear norm minimization method for noisy low-rank tensor completion,SIAM J.Imaging Sciences 12(2019),1231--1273.