学科快速发展期（1983年—2002年）

（第二部分）

（4）研究方向及其成果简介

研究方向一对某些图类及组合数的研究

主要研究人员：李修睦、毛经中等。

李修睦教授最先在中国研究图论，他组建了全国图论研究会，筹建了中国科学院运筹学会研究室，并将贝尔热著的《图的理论及应用》（1963年由上海科技出版社出版）译成中文，推动了中国等东方国家在这方面的研究。他有关图论的研究成果，集中反映在专著《图论导引》(1982年由华中工学院出版社出版)中。

研究成果：

①对测地块的研究：解决了直径为2的测地块的分类及其构造问题。这一问题J.G Stemple在其1974年的博士论文中进行了研究，但并未解决；构造出了一系列g<2d+1，且可使2d+1-g取任意大的偶数的测地块，解决了两位印度著名图论学者在1982年提出的相关问题；利用平衡不完全区组设计，构造了一系列直径为4或5的自中心或非自中心的测地块，而且其最小值可任意大，从而大大扩大了测地块的构造类；发现了测地块与射影平面、仿射平面的关系等。

②对平面图及互补平面图偶的研究：1977年，著名学者Schmeichel和Hakimi对所有最大次与最小次的差为2的Euler序列进行了研究，最后留下12个序列无法判定，只推测出它们都是非平面图序列。本成果对这12个序列分别作了肯定或否定的结论，从而彻底解决了这个猜想；1980年，国际著名学者Harary和Akiyama提出了找出所有图G与其补图均为平面图的图偶问题，本成果对这一问题进行了研究并构造出了所有图偶，彻底解决了问题。

③对其他几类图的研究：对对称图的代数特征进行了描写，找出了顶点传递图、对称图、t-孤传递图所对应的群的特征，推广了Cayley图的概念；深入研究了单图的性质及构造特点，否定了国外学者Johnson关于其构造方式的一个猜想；在高维图论研究中否定了A.K.Dewdney的猜想，给出下(mn)树的一个新的充分必要条件；在哈密顿次序列的研究中得出了几类新的、不具闭包完全图等性质的具强制哈密顿性的次序列，丰富了这方面的成果，讨论了极小k边连通图的一个极值问题，给出了极小k边连通图的k次顶点个数到目前为止最好的下界。这系列研究工作解决了国内外长期未解决的问题，完善了基础理论的研究工作。

④对其他组合问题的研究：组合学家J.M.Hammersley对矩阵方程A°=D进行了研究，其中，A是其对角线元素均为0的(0，1)矩阵，D为非对角线元素全为1的矩阵，而且A的行和列和都相等为一常数。J.M.Hammersley给出了一个解、并猜想只有一个解。本成果则找出了A=D的全部解，共5个，而非一个，否定了J.M.Hammersley的猜想；近百年来，Euler于1755年提出的数列被广泛研究，本成果又给出了一类新的Euler数列，同时还指出了进一步推广的方向。此外，本成果还导出了非负整数列的两个推广了的不等式性质、广义Beckenbach不等式及Malfatti不等式。

以上研究成果均为图论与组合数学的基础理论各个方面的基础性成果，解决了许多长期悬而未决的问题，对基础理论具有重要贡献。并且，本成果中许多结论不仅给出了理论结论，而且给出了全部构造，特别是对国外一系列著名学者的猜想的否定，将有助于开辟新的研究领域。此外，本成果还提供了图的具体构造方法，如平面图次序列、互补平面图偶等，为理论应用到实际生产活动中提供了基础(如集成电路的布线方式等)。

研究方向二非线性控制系统稳定性理论若干问题

主要研究人员：廖晓昕等。

研究成果：

①对非线性控制系统绝对稳定性及鲁里叶问题进行了研究，提出了关于部分变元和反馈流形绝对稳定性等新概念，得到直接、间接、离散、时滞、多调节等系统绝对稳定的充要条件和一系列新的实用充分条件，改进了著名的S程序，扩大了它的应用范围，所得有关结果在更复杂的临界控制系统中依旧具有绝对稳定性，使该问题的研究获得突破性进展。

②独创性地提出了分析稳定性的迭代法和分块估值比较法，且成功地应用到常微系统、泛函微分系统中。给出了偏微系统稳定性的显式代数型判据，开辟了一条分析大系统稳定性的新途径，推进了有关稳定性的研究。

③对高维非线性系统的定性研究，成功地构造了包括前人结果为特例的V函数，该V函数在控制理论、生物数学系统网络中均有重要应用。

④对神经网络的稳定性和优化计算问题进行了研究，指出了Hopfield方法理论的严重缺陷，给出了一系列新的稳定性的结果，在国际上引起了神经网络界的关注与重视。

本研究成果受到同行专家好评与重视，并被国内外有关学者引用，曾先后获得国家教委优秀科技成果奖、国家教委科技进步二等奖、湖北省科协优秀论文一等奖、武汉市科协优秀论文一等奖；专著《稳定性的数学理论和应用》获中南地区大学出版社协会优秀学术专著一等奖。

研究方向三微分系统的全局理论及应用

主要研究人员：梁肇军、路钢、邓宗琦、肖冬梅等。

研究成果：

①微分系统的轨线在Pioncare闭半球面Ω上的全局分析，在二维流形Ω上诱导出实射影平面的连续向量场的充要条件下，通过多项式系统的系数实现代数判定，完整地给出了实射影平面二次系统的结构，否定了Lefschez留下的一个命题；证明了多项式系统在Ω上结构稳定的充要条件，为从分枝的角度研究多项式系统提供了更坚实的理论准备；对Ω上的奇闭图给出了新的定义与分类；证明了偶次多项式系统没有全局中心；否定了1980年之前人们关于二次系统E的(II)(L=0)类方程的极限环可能出现(2，2)分布的猜想；完整地提供了具有三阶细焦点的E的全局分枝图与全局结构，这是继E的研究维中心全局分析之后最重要的全局图；成功地研究出高维齐次向量场的空间周期解，并发现高维齐次向量场有Lorenz吸引子。

②对半动力系统的反应扩散方程妥的全局性态、爆破问题进行了研究，成功地解决了Friedman-Giga方程、Fajita方程组以及Henon-leiles方程组的爆破问题。

③提出具有深刻应用背景的“部分变元振动”概念。

④求出具有深刻应用背景的数学模型，如三分子模型、R.M.Anderson模型的分枝问题求出分枝函数，便于应用。

本研究成果有《多项式微分系统全局分析导引》《常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论》等论著及研究论文数十篇，在国内外相关领域中产生了积极影响。

研究方向四非线性偏微分方程解的存在性及其性态

主要研究人员：邓引斌、汪更生、严国政、张正杰。

非线性偏微分程所描述的问题，不仅出现在非线性分析、理论物理、微分几何等理论分支，而且还出现在反应扩散、生态发展、经济最优控制、材料科学与信息科学等重要的应用领域。该类问题在一定条件下解的存在性及其性态的研究一直被人们所关注，本项目组在这方面做了大量工作，共发表论文40多篇，其中有20多篇发表在《Archives for Rational Mechanics Analysis》《J.Diff.Equs》《Comm.PDE》等国外SCI系列杂志上，有20多篇发表在国内《科学通报》《数学学报》《数学年刊》《数学物理学报》等国内一级核心期刊上。

研究成果：

①一类非线性椭圆方程和解的存在性及其性态。

②一类非线性抛物方程的整体解的存在性与非存在性。

③关于分布参数的最优控制问题。

这些研究成果得到了国内外专家的普遍关注和好评，绝大部分都分别被《美国数学评论》《苏联数学摘》等杂志转摘，不少论文被同行专家引用。著名数学家、中国科学院数学所研究员王光寅认为：“邓引斌所研究的课题非常重要，是至今国际上的主流方向，是目前偏微方程研究最活跃的分枝”，并称赞邓引斌发表在数学学报上的论文“可以说是非常出人意料的好结果”。

研究方向五矩阵参数估计的容许性理论

主要研究人员：谢民育、覃红、夏明远等。

参数估计是数理统计中一个非常重要的方面，目前学界对于一元线性模型的参数估计已有比较完善的结果，但对于矩阵参数估计，特别是矩阵参数的可许性估计的结果还较少且较零碎，这是因为在向量参数的估计中，通常使用的二次损失为函数，其对应的风险为实数，有关风险的比较只需按数的大小进行，而在矩阵参数的估计中，相对应于二次损失的风险函数为非负定矩阵，有关矩阵大小的比较有许多不同的标准，因此矩阵参数的容许性估计比较复杂。

研究成果：

①首次提出了比较风险大小的八种优良性标准，并相对应地提出了八种容许性定义。给出了多元回归系数的线性估计在这八种容许性定义下的分类，且得到了各类的可容许性特征。主要成果发表在Chinese Science Bulletin 35(1990)、ActaMath.Scientia 14(1994)和《华中师大学报(自然科学版)》26(1992)等刊物上。

②首次在三种容许性定义下给出了正态均值矩阵的线性估计在一切估计类中的容许性特征，主要成果发表在J.Multivariate Analysis 44(1993)等刊物上。

③首次借助优良设计思想提出了泛优良性的比较标准，把原来多样化的比较标准统一规范化，并在线性估计类中给出了多元回归系数线性估计的泛容许性特征，主要成果发表在Chinese Science Bulletin 35(1993)和《应用数学学报》18(1995)等刊物上。

④在七种比较标准下，给出了协方差矩阵的二次型估计在二次型估计类中容许性的分类及各类可容许的特征，主要成果发表在《应用数学学报》17(1994)等刊物上。